Partie théorique

Chapitre 2 – Les transformations du plan

A. Introduction

Les actions qui transforment

Une isométrie est une transformation du plan qui conserve les mesures.

Le mot "isométrie" vient du grec :
 Iso signifie même ;
metros signifie mesure.

Les isométries que tu connais sont :

  la symétrie orthogonale qui retourne les figures ;
  la translation qui fait glisser les figures ;
  la rotation qui fait tourner les figures ;
  la symétrie centrale qui fait tourner les figures de 180°.

Remarque

  La branche "agrandir/réduire" fera l'objet d'une étude ultérieure.

 

B. Symétrie orthogonale

1)

Image d'un point

  

 

A' est l'image de A par la symétrie orthogonale d'axe x si x est la médiatrice de [AA'].

2)

Ecriture et lecture

  

 

Sx (A) = A' signifie que :

par la symétrie orthogonale d'axe x, l'image du point A est le point A'

ou

le point A' est l'image du point A par la symétrie orthogonale d'axe x.

3)

Point fixe

  

 

Tout point de l'axe est sa propre image.

Une symétrie orthogonale admet donc une infinité de points fixes : les points de l'axe.

C. Symétrie centrale

1)

Image d'un point

  

 

A' est l'image de A par la symétrie centrale de centre O si O est le milieu de [AA'].

2)

Ecriture et lecture

  

 

SO (A) = A' signifie que :

par la symétrie centrale de centre O, l'image du point A est le point A'

ou

le point A' est l'image du point A par la symétrie centrale de centre O.

3)

Point fixe

  

 

Une symétrie centrale n'admet qu'un seul point fixe : son centre.

D. Translation

1)

Image d'un point

  

 

A' est l'image de A par la translation qui applique X sur Y si [XY] et [AA'] ont la même longueur, même direction et même sens de parcours.

2)

Ecriture et lecture

  

 

par la translation qui applique X sur Y, l'image du point A est le point A'

ou

le point A' est l'image du point A par la translation qui applique X sur Y.

3)

Point fixe

  

 

Une translation non nulle n'admet pas de point fixe.

E. Rotation

1)

Technique de construction

  

 

Pour une rotation, tout point tourne

- autour du centre, en restant à une même distance du centre (arc de cercle).
- d'une même amplitude,
- dans le même sens.

Sens d'une rotation

 

2)

Image d'un point

  

 

3)

Ecriture et lecture

  

 

ou
4) Point fixe
  Une rotation d'amplitude non nulle n'admet qu'un seul point fixe : son centre.

F. Invariants

1)

Invariants communs aux isométries

  

 
Les isométries conservent
l'alignement des points,
l'amplitudes des angles,
la longueur des segments,
le parallélisme des droites,
la perpendicularité des droites,
le milieu d'un segment,
le périmètre et l'aire des figures.
Les isométries conservent
donc la forme et la grandeur des figures.

2)

Propriétés propres à certaines isométries

Par une translation, l'image d'une droite est une droite parallèle.

 Par une symétrie centrale, l'image d'une droite est une droite parallèle.
 
  Par une translation, l'image d'une demi-droite est une demi-droite parallèle et de même sens. Par une symétrie centrale, l'image d'une demi-droite est une demi-droite parallèle et de sens contraire.
 

G. Effet de certaines transformations sur les coordonnées

Les transformations du plan ci-dessous s'effectuent dans un repère cartésien d'axes x et y perpendiculaires en O.

1)

Effet d'une symétrie orthogonale sur les coordonnées d'un point

 
-

Par la symétrie orthogonale d'axe x, un point et son image ont la même abscisse et des ordonnées opposées.

Règle de transformation de la symétrie orthogonale d'axe x :

(x ; y)
( x ; – y)
-

Par la symétrie orthogonale d'axe y, un point et son image ont la même abscisse et des ordonnées opposées.

Règle de transformation de la symétrie orthogonale d'axe y :

(x ; y)
(– x ; y)

2)

Effet d'une symétrie centrale sur les coordonnées d'un point

 
-

Par la symétrie centrale de centre O, un point et son image ont des abscisses et des ordonnées opposées.

Règle de transformation de la symétrie centrale de centre O :

(x ; y)
(– x ; – y)

3)

Effet d'une translation sur les coordonnées d'un point

 
-

Pour trouver les coordonnées de l'image d'un point par une translation qui applique O (0;0) sur P (a;b), il suffit d'ajouter a à l'abscisse du point initial et b à son ordonnée.

Règle de transformation de la translation qui applique O (0;0) sur P (a;b) :

(x ; y)
(x + a ; y + b)

4)

Effet d'une rotation de centre O et d'amplitude +/– 90° sur les coordonnées d'un point

 
-

Par la rotation de centre O et d'amplitude 90°, l'image d'un point a pour abscisse l'opposé de l'ordonnée de ce point et pour ordonnée son abscisse.

Règle de transformation de la rotation de centre O et d'amplitude 90° :

(x ; y)
( – y ; x )
-

Par la rotation de centre O et d'amplitude – 90°, l'image d'un point a pour abscisse l'ordonnée de ce point et pour ordonnée l'opposé de son abscisse.

Règle de transformation de la rotation de centre O et d'amplitude – 90° :

(x ; y)
( y ; – x )