Partie théorique

Chapitre 5 - Calcul littéral

A. Produit algébrique

Pour réduire un produit algébrique, il faut
  multiplier les facteurs entre eux et
écrire, de préférence, les facteurs littéraux dans l'ordre alphabétique.
Exemples : 3a . 2b = 6ab – 4a . 2a = – 8a2

B. Somme algébrique

1) On appelle termes semblables des termes qui ont la même partie littérale.
2) Pour réduire une somme algébrique de termes semblables, il faut
  conserver la partie littérale et
additionner les parties numériques (coéficients).
 
Exemples :

3a + 2a = 5a

–5ab + 2ab = –3ab

3a2 + 5a2 = 8a2

 

b + b = 2b

–3x – 5x = –8x

3a4 – 5a4 = –2a4
 
Remarque :
les sommes 3a + 2b, 5a + 1 et 3a2 + 5a³ ne sont pas réductibles car elles ne contiennent pas de termes semblables.


C. Distributivité

1)
 Pour multiplier une somme par un nombre, il faut
  multiplier chaque terme de la somme par ce nombre et additionner les résultats obtenus.
    Exemple : a . (b + c) = a . b + a . c = ab + ac
2)
 Pour multiplier une somme par une somme, il faut
  multiplier chaque terme de la première somme par chaque terme de la seconde et additionner les résultats obtenus
    Exemple : (a + b) . (c + d) = a . c + a . d + b . c + b . d = ac + ad + bc + bd
3)
 Les règles de distributivité énoncées avec des nombres naturels restent applicables aux nombres négatifs.
    Exemples :
a . (b – c)
= a . [b + (– c)] = a . b + a . (– c) = ab – ac
     
(a – b) . (c – d)
= [a + (– b)] . [c + (– d)]
= a . c + a . (– d) + (– b) . c + (– b) . (– d)
= ac – ad – bc + bd

D. Mise en évidence

Lorsque tous les termes d'une somme possèdent un (des) facteurs(s) commun(s), on peut transformer cette somme en un produit de facteurs en mettant ce(s) facteur(s) commun(s) en évidence.
Exemples :
 ab + ac = a . (b + c) 3ab + 3bc = 3b . (a + c)
  5a + 5 = 5 . (a + 1) 12a – 18b = 6 . (2a – 3b)
  25a – 35 = 5 . (5a – 7) 9a2 – 3a = 3a . (3a – 1)
  – 15a + 3b = – 3 . (5a – b) – 24a2 – 18 a³ = – 6a2 . (4 + 3a)

E. Suppression des parenthèses

1)
 Dans une somme algébrique, on peut supprimer des parenthèses et le signe "+" qui les précéde sans changer le signe des termes compris dans ces parenthèses.
  Exemple : 4a + (– 2b + 3c) = 4a – 2b + 3c
2)
 Dans une somme algébrique, on peut supprimer des parenthèses et le signe "– " qui les précéde à condition de changer le signe des termes compris dans ces parenthèses.
  Exemple : 5x – (– 4y + 2z) = 5x + 4y – 2z
Remarque
Cette règle s'explique par le fait que l'opposé d'une somme est égal à la somme des opposés de chaque terme.
  Exemple : – (a + b) = – 1.(a + b) = (– a) + (– b) = – a – b

F. Distributivité et suppression de parenthèses

Certains exercices complexes font apparaître ces deux notions.
1)
2x . (4 – 5x) + 3 . (2x – 7)
 = (8x – 10x2) + (6x – 21)
    = 8x – 10x2 + 6x – 21
    = – 10x2 + 14x – 21
  Ecrire les résultats des distributivités simples entre parenthèses n'est pas indispensable.
  .   
2)
3x . (1 – 2x) – 4 . (2x – 3)
= (3x – 6x2) – (8x – 12)
    = 3x – 6x2 – 8x + 12
    = – 6x2 – 5x + 12
  Ecrire les résultats des distributivités simples entre parenthèses n'est pas indispensable à condition de transformer la différence en une somme.
 
3x . (1 – 2x) – 4 . (2x – 3)
= 3x . (1 – 2x) + (– 4) . (2x – 3)
    = 3x – 6x2 – 8x + 12
    = – 6x2 – 5x + 12
  .   
3)
(2x + 5) . (1 – 4x) + (x – 3) . (x – 2)
= (2x – 8x2 + 5 – 20x) + (x2 – 2x – 3x + 6)
    = 2x – 8x2 + 5 – 20x + x2 – 2x – 3x + 6
    = – 7x2 – 23x + 11
  Ecrire les résultats des distributivités doubles entre parenthèses n'est pas indispensable.
  .  
4)
(1 – 3x) . (2x + 4) – (5 – x) . (x + 2)
= (2x + 4 – 6x2 – 12) – (5x + 10 – x2 – 2x)
    = 2x + 4 – 6x2 – 12x – 5x – 10 + x2 + 2x
    = – 5x2 – 13x – 6
  Ecrire les résultats des distributivités doubles entre parenthèses est conseillé afin d'éviter des erreurs de signes.

G. Propriétés des puissances à exposants naturels

1)
 Produit de puissances de même base
Pour multiplier des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants.

Exemple : a3 . a2 = a3+2 = a5
2)
 Puissance d'une puissance

Exemple : (a3)2 = a3.2 = a6
3)
 Puissance d'un produit

Exemple : Exemple : (a . b)3 . a2 = a3 . b3
  Remarque : les règles 2 et 3 sont souvent utilisées consécutivement dans le même exercice.
    (x3 . y2)4 = (x3)4 . (y2)4 = x3.4 . y2.4 = x12. y8
    (4a3)2 = 42 . (a3)2 = 16 . a3.2 = 16 . a6 

Vos remarques sont les bienvenues.